すみろぐ_Sumi-Log

IIDX:Copulaが稼働してしまいました。

完全に記事書くの忘れてました。
なので、☆12に関してだけ最後のIIDXの記事から現在までで得た収穫をまとめておきます。
曲名の前の[ ]は、Eがイージー、Hがハード、番号がそのクリアランプがついた順番になってます。
曲名のあとにそのときのオプションをのっけてます。参考になれば。

～PENDUAL～
07/24
[E45]Sounds Of Summer; EASY

08/08
[E46]Invitation from Mr.C; EASY

09/07
[E47]ワルツ第17番ト短調"大犬のワルツ"; EASY
[E48]夏色DIARY -L.E.D.-G STYLE MIX-; EASY

09/12
[E49]WONDER WALKER; EASY
[E50]Idola; EASY
[E51]NNRT; EASY
[E52]轟け！恋のビーンボール！！; EASY
[E53]シュレーディンガーの猫; EASY (OP:RAN)
[E54]Monopole.; EASY (OP:R-RAN)

10/23
[H07]invoker; HARD
[H08]TIEFSEE; HARD

10/27
[H09]紅牡丹; HARD
[H10]F; HARD
[H11]疾風迅雷; HARD
[H12]ΕΛΠΙΣ

～Copula～
11/19
[E55]Say YEEEAHH; EASY (OP:R-RAN)
[E56]Red. by Full Metal Jacket; EASY (OP:MIRROR)
[E57]Close the World feat.a☆ru; EASY

11/22
[E58]ELECTRIC MASSIVE DIVER; EASY
[E59]少年A; EASY
[E60]旋律のドグマ～Misérables～; EASY
[E61]子供の落書き帳; EASY
[E62]Watch Out Pt.2; EASY

これから先は☆12収穫出たらその都度記事にまとめていきたいですね。

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量子力学メモ②：Heisenbergの不確定性原理を導出してみる

前回，粒子の位置$x$と運動量$p$の期待値を求めた((4.4)式と(4.5)式)．
今回は，位置$x$と運動量$p$の揺らぎ$\delta x$，$\delta p$を考え，Robertsonの不等式からHeisenbergの不確定性原理の式を導出してみたいと思う．

◎交換関係の定義(とおまけ)
2つの演算子$A, B$に対し，
$$[A, B] :=AB-BA \tag{5.1}$$を交換関係と言う．また，
$$\{ A, B \} :=AB+BA \tag{5.2}$$を反交換関係と言う．
今回は，$A=\hat{x}, B=\hat{p}$として考える．すると，任意の関数$f$に対し，
$$\begin{eqnarray}
(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})f &=& -i\hbar \left( x \frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}(xf) \right) \\
&=& -i\hbar \left[ x\frac{\partial f}{\partial x}- \left( f+ x\frac{\partial f}{\partial x}\right) \right] \\
&=& -i\hbar (-f) \\
&=& i\hbar f \tag{5.3}
\end{eqnarray}$$が成り立つ．よって，(5.1)と(5.3)をまとめると，
$$[\hat{x}, \hat{p}]=i\hbar \tag{5.4}$$であることがわかる．

◎内積の定義と諸性質
関数$\phi, \psi$に対して，内積$\langle \phi | \psi \rangle$を
$$\langle \phi | \psi \rangle := \int \phi^*(q_1, \cdots,q_f) \psi (q_1, \cdots, q_f) d \tau \tag{5.5} $$で定義する．ここで，$\tau=(q_1, \cdots, q_f)$である．
この内積は，以下の5つの性質を満たす．
$$\begin{eqnarray}
&1.& \ \langle \phi | \psi \rangle = \langle \psi | \phi \rangle ^* \tag{5.6} \\
&2.& \ \langle \phi | \lambda_1 \psi_1+\lambda_2\psi_2\rangle =\lambda_1 \langle \phi | \psi_1 \rangle +\lambda_2\langle \phi | \psi_2\rangle \ {\rm for} \ \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C} \tag{5.7} \\
&3.& \ \langle \lambda_1\phi_1+\lambda_2\phi_2 |\psi \rangle = \lambda_1 ^* \langle \phi_1 | \psi \rangle +\lambda_2^* \langle \phi_2 |\psi \rangle \ {\rm for} \ \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C} \tag{5.8} \\
&4.& \ \langle \psi | \psi \rangle \geq 0 \tag{5.9} \\
&5.& \ |\langle\phi|\psi\rangle| \leq \sqrt{\langle\phi|\phi\rangle \langle\psi|\psi\rangle} \ ({\rm Schwarz \ ineq.}) \tag{5.10}
\end{eqnarray}$$
◎Robertsonの不等式
ある演算子$A$に対して，その揺らぎを$\delta A := A- \langle A \rangle$で定義する．
このとき，$\langle (\delta A)^2 \rangle$を$A$の分散と言う．
2つの演算子$A, B$に対して，(5.10)より，
$$\langle (\delta A)^2 \rangle \langle (\delta B)^2 \rangle \geq |\langle \delta A\delta B \rangle |^2 \tag{5.11}$$が成り立つ．ここで，(5.1)と(5.2)より，
$$\begin{eqnarray}
\delta A\delta B &=& \frac{1}{2}(\delta A\delta B -\delta B\delta A)+\frac{1}{2}(\delta A\delta B +\delta B\delta A) \\
&=& \frac{1}{2}\left[ (A-\langle A \rangle)(B-\langle B \rangle)-(B-\langle B \rangle)(A-\langle A \rangle) \right] +\frac{1}{2}\{ \delta A,\delta B \} \\
&=& \frac{1}{2}(AB-BA) +\frac{1}{2}\{ \delta A, \delta B \} \\
&=& \frac{1}{2}[A,B] +\frac{1}{2}\{ \delta A,\delta B \} \tag{5.12}
\end{eqnarray}$$であるから，
$$\begin{eqnarray}
|\langle \delta A\delta B \rangle|^2 &=& \left| \frac{1}{2}\langle[A,B] \rangle +\frac{1}{2}\langle \{ \delta A,\delta B \} \rangle \right| ^2 \\
&=& \left| \frac{1}{2} \langle [A,B] \rangle \right| ^2 +\left| \frac{1}{2} \langle \{ \delta A, \delta B \} \rangle \right| ^2 \\
&\geq& \frac{1}{4} |\langle [A,B] \rangle |^2 \tag{5.13}
\end{eqnarray}$$となる．1行目から2行目へは，$\langle [A,B] \rangle$は純虚数，$\langle \{ \delta A, \delta B \} \rangle$が実数であることを用いた．
よって，(5.11)と(5.13)を合わせると，
$$\langle (\delta A)^2 \rangle \langle (\delta B)^2 \rangle \geq \frac{1}{4} |\langle [A,B] \rangle |^2 \tag{5.14}$$となる．これがRobertsonの不等式である．

◎Heisenbergの不確定性原理の導出
Robertsonの不等式が導出できたので，あとは$A, B$をそれぞれ$\hat{x}, \hat{p}$に置き換えてみる．
すると，(5.14)は，
$$\langle (\delta \hat{x})^2 \rangle \langle (\delta \hat{p})^2 \rangle \geq \frac{1}{4} |\langle [\hat{x}, \hat{p} ] \rangle |^2 \tag{5.15}$$となる．(5.4)と(5.15)より，
$$\sqrt{\langle (\delta \hat{x})^2 \rangle \langle (\delta \hat{p})^2 \rangle} \geq \frac{\hbar}{2} \tag{5.16}$$となって，Heisenbergの不確定性原理の式が導出された．

◎参考文献 (敬称略)
・量子力学(I)(裳華房) / 著・江沢洋
・量子物理(オーム社) / 著・望月和子
・量子力学A 資料第5回「演算子と固有値・固有関数(その2)」 / 草部浩一
・Wikipedia-不確定性原理 → リンク
・Wikipedia-交換関係 → リンク
・理工系数学のアラカルト-ロバートソンの不等式とその証明 → リンク

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量子力学メモ①：期待値とEhrenfestの定理

久しぶりにメモを残す．
大学で量子力学の講義が始まって約1ヶ月になるが，少し理解が追いついていない可能性があるため，ここにメモがてらしたためることにした．
とりあえず，今回は量子力学や統計力学で扱う確率論を踏まえた，平均値のお話．

◎波動関数の規格化と確率解釈
規格化された複素数波動関数$\psi (x,t)$を考える．(一般の位置$\mathbf{r}$に対する波動関数$\psi (\mathbf{r}, t)$でもよいが...)
つまり，このとき
\[ \int _{\Omega} \psi^* \psi dx=1 \tag{4.1} \]
が成り立っているものとする($\psi^* := \overline{\psi} $ である)．
$\Omega$は$\psi$が定義されている全空間であるとするならば，(4.1)の左辺の値が1となるのは当然である．
また、Bornの確率解釈に従えば，「時刻tで一次元体積素$dx$の中に粒子を見出す確率が$\psi^* \psi dx$である」と言える．
(もちろん，一般に考えると体積素は$d \mathbf{r}$となる．)

◎期待値(≒平均値)の定義
先の項で示したBornの確率解釈の話によれば，時刻tで位置$x$に粒子を見出す確率は$x \psi^* \psi$であると言えるだろう．
これを全空間$\Omega$にわたり積分すれば，粒子の位置の期待値が得られる．これを$\langle x \rangle$と書くならば，
\[ \begin{eqnarray} \langle x \rangle &:=& \int _{\Omega} x\psi^* \psi dx \\
&=& \int _{\Omega} \psi^* x\psi dx \tag{4.2}
\end{eqnarray} \]
ということである．
$\psi^*$と$\psi$で挟む形に敢えてしたのは，運動量$p$の対応を考えると都合がよくなるからである．
(このあたりは不勉強なため，もう少し整理できたら別の記事でまとめます)

以上をまとめて，期待値の演算子(のようなもの)を考えると，次の(4.3)式のようになるはずである．
\[ \langle \cdot \rangle := \int_{\Omega} \psi^* \cdot \psi dx \tag{4.3} \]
たとえば，次のようになる．各式の2式目と3式目は，対応を考えれば成り立っていることが分かる．
$$ \begin{eqnarray}
\langle \hat{x} \rangle &=& \int_{\Omega} \psi^* \hat{x} \psi dx = \int_{\Omega} \psi^* x \psi dx \tag{4.4} \\
\langle \hat{p} \rangle &=& \int_{\Omega}\psi^* \hat{p} \psi dx = \int_{\Omega} \psi^* \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \psi dx \tag{4.5}
\end{eqnarray} $$
※ブラ・ケット記法を借りると，(4.3)式は次のように書き改めることもできる．
$$ \langle \cdot \rangle := \langle \psi | \cdot |\psi \rangle \tag{4.6}$$

◎Ehrenfestの定理
さて，(4.4)式と(4.5)式で位置と運動量の期待値$\langle \hat{x} \rangle$，$\langle \hat{p} \rangle$が与えられた．これらをそれぞれ時間微分してみる．
$$ \begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}\langle \hat{x} \rangle &=& \frac{d}{dt}\int_{\Omega}\psi^* x\psi dx \\
&=& \int_{\Omega}\left( \frac{\partial\psi^*}{\partial t}x\psi +\psi^* x\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)dx \\
&=& -\frac{1}{i\hbar}\int_{\Omega}\left[ \left(-i\hbar\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\right) x\psi - \psi^*x \left( i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \right] dx \\
&=& -\frac{1}{i\hbar}\int_{\Omega}({\cal H}\psi)^*x\psi dx +\frac{1}{i\hbar}\int_{\Omega}\psi^*x({\cal H}\psi)dx \\
&=& \frac{1}{i\hbar}\left[ \int_{\Omega}\psi^*x \left( -\frac{\hbar ^2}{2m}\Delta +V(x) \right) \psi dx \ - \ \int_{\Omega}\left( -\frac{\hbar ^2}{2m}\Delta +V(x) \right)\psi^* x\psi dx \right] \\
&=& \frac{i\hbar}{2m}\int_{\Omega}[\psi^* x\Delta\psi -(\Delta\psi^*)x\psi]dx \\
&=& \frac{1}{m}\int_{\Omega}\psi^*\left(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right)\psi dx \\
&=& \frac{1}{m} \langle \hat{p} \rangle \tag{4.7}
\end{eqnarray} $$
$$ \begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}\langle \hat{p} \rangle &=& \frac{d}{dt}\int_{\Omega}\psi^* \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\right)\psi dx \\
&=& -i\hbar \left[ \int_{\Omega}\frac{\partial \psi^*}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x}\psi dx +\int_{\Omega}\psi^*\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial t}dx \right] \\
&=& \int_{\Omega}({\cal H}\psi)^* \frac{\partial}{\partial x}\psi dx -\int_{\Omega}\psi^* \frac{\partial}{\partial x}({\cal H}\psi)dx \\
&=& \int_{\Omega} \left( -\frac{\hbar ^2}{2m}\Delta +V(x) \right)\psi^* \frac{\partial\psi}{\partial x}dx - \int_{\Omega}\psi^* \frac{\partial}{\partial x}\left( -\frac{\hbar ^2}{2m}\Delta +V(x) \right) \psi dx \\
&=& \int_{\Omega} \left[ -\frac{\hbar ^2}{2m} \left( \psi^* \Delta \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi^* \frac{\partial}{\partial x} \Delta \psi \right) +\psi^* V(x) \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi^* \frac{\partial}{\partial x} (V(x)\psi ) \right] dx \\
&=& \int_{\Omega}\psi^* \left( -\frac{\partial}{\partial x} V(x) \right) \psi dx \\
&=& \langle -\frac{\partial}{\partial x} V(x) \rangle \\
&=& \langle F(x) \rangle \tag{4.8}
\end{eqnarray} $$
以上の(4.7)と(4.8)を一般的に書くと，次のようになる．
\[ \begin{eqnarray}
m\frac{d}{dt}\langle \hat{\mathbf{r}} \rangle = \langle \hat{\mathbf{p}} \rangle \tag{4.9} \\
\frac{d}{dt} \langle \hat{\mathbf{p}} \rangle = \langle \mathbf{F} \rangle \tag{4.10}
\end{eqnarray} \]
(4.10)の右辺は$\langle -\nabla V(\mathbf{r}) \rangle$と書くこともある．
これをEhrenfestの定理と言う．このEhrenfestの定理によって，以下のことが保障される．
『波束の位置，運動量をそれらの量子論的期待値と解釈すれば，古典論的運動と量子論的運動が一致する．』
これにより，古典論と量子論の対応を議論する際にEhrenfestの定理が重要な役割を果たす．

◎参考文献 (敬称略)
・量子物理(オーム社) / 著・望月和子
・量子力学A 資料第3回「波動関数」 / 草部浩一
・エーレンフェストの定理 (Wikipedia) → リンク
・量子力学・期待値 (EMANの物理学) → リンク

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【SDVX III】PART 20

[PUC] 20 → 22
[LV15 AAA] 166 → 177 (/201)
[LV15 990↑] 51 → 53 (/201)


smooooch・∀・ KN mix[EXH] PUC	キリトリセン[EXH] PUC

Double Universe[GRV] AAA	ΑΩ[EXH] AAA

Shanghai Wu Long ～上海舞龍～[EXH] AAA	Vampire's Territory[EXH] AAA

Warrior's Aboot[EXH] AAA	ホーンテッド★メイドランチ[EXH] AAA

FLOWER[EXH] AAA	Got more raves？[EXH] AAA

Garakuta Doll Play[EXH] AAA	三つ数えろ[EXH] AAA

Lucky*Clover[EXH] AAA +990↑	轟け！恋のビーンボール！！[EXH] UC +990↑

あっ、どうもお久しぶりです。

なんか40日くらい空きましたが、アプデのたびにLV15のAAAと未AAAが増えてて結構つらいです。
なんとかしたいとは思いつつ...地力の限界ということか。
最近はAAA乗せて以来やってないLV15をやったり、PUCチャレンジしてみたり。
試みはたくさんあるので、可能な限りやってみてますが、うーん。

新しいPOLICY BREAKでドーパミンが移植されましたが、私は未解禁です。
譜面見る限りではどう見ても脳筋譜面ですね。こういうのあまり得意ではないのでAAA乗せるのに時間かかりそうです。
というか、この脳筋譜面のために24TUNE分もjubeatやりたくないのが本音です。
「やりたくないなら解禁するな」とは言うものですが...。

[UC] 367 → 374
・LV13 Treasure[EXH]：NR5
・LV13 都会征服Girls☆[EXH]：NR7
・LV14 My name is TSUMABUKI[EXH]：NR1
・LV14 Sourire[EXH]：NR17
・LV14 ちくわパフェだよ☆CKP[EXH]：NR6
・LV14 ハナビラ：リンクス[EXH]：NR5
・LV15 轟け！恋のビーンボール！！[EXH]：NR28
もうちょっと繋ぎたい曲いっぱいあるんですけどね。
最近ので言ったら crêpe suzette とか Shiawase Transmission とかですかね。

では今回はこれで。修行してきます。

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【SDVX III】PART 19

[PUC] 18 → 20
[LV15 AAA] 158 → 166 (/192)
[LV15 990↑] 49 → 51 (/192)


INVITATION SiGN -SDVX Version-[EXH] PUC	最果てのコトバ[EXH] PUC

INFINITY OVERDRIVE[GRV] AAA	Crack Traxxxx[GRV] AAA

Preserved Valkyria[EXH] AAA	XyHATTE[EXH] AAA

夏色DIARY -Summer Dazzlin' Vacation miX-[EXH] AAA	紅の剣舞[EXH] AAA

Dawn of Asia[GRV] AAA +990↑	夏色DIARY -Summer Dazzlin' Vacation miX-[GRV] AAA +990↑

また前回の記事から約1ヶ月経ってしまった。
BEサマやΑΩ～veRtrageSの解禁もようやく終わりました。
お金と時間がかかりすぎるのが最近のボルテのよくない点ですね。あと難しくなりすぎ。

さて、17日に大量に新曲およびGRV譜面が追加された訳ですが。
ストーリー全く進んでいません。大体Blastix RiotzとveRtrageSのせい。
veRtrageSは未プレイなので今度やりますが、評判だとめっちゃ難しいらしいですね。困った。
どんどん未AAAが増えてきて涙が出そう。

たまにPUCは出てくれるんですが、粘着すればするほど闇を孕んでしまうのであまりやりません。
LV12あたりだと意外と簡単に出てくれる半面、意外とNEARが出てしまうのが悲しいところです。

夏色DIARY[GRV]はUC+NR2-3で999乗せてみたいところ。LV15で一番スコア高いので...。
999はAYAKASHIとか隠しコマンドで狙ってもいいんですが、ああいうのはあんまり得意ではなく...。
といってもVoice 2 Voiceの高速BCトリルで毎回切ってしまうんですけどね。難しい。

[UC] 366 → 369
・LV13 気まぐれスターダム[EXH]：NR6
・LV14 Over the Starlit sky[EXH]：NR8
・LV14 6弦とピアノのためのエチュード op.4[EXH]：NR49
うーんうまくならない。最近ウネウネツマミ譜面がすごく多いので、ウネウネツマミが苦手な私には苦行です。

では今回はこの辺で終わりにします。
次回はLV15 AAAが170個、PUCが22個あればいいですね。

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