量子力学メモ③：Robertsonの不等式の証明2

演習の講義で紹介された証明方法があまりにも厳密性が高く感動的だったので，メモとしてここに投下．
厳密性が高い，というのは，前回の記事の証明過程((5.13)の2行目～3行目)を見ると分かってくれるだろうか．

量子力学メモ②：Heisenbergの不確定性原理を導出してみる

前回，粒子の位置$x$と運動量$p$の期待値を求めた((4.4)式と(4.5)式)．今回は，位置$x$と運動量$p$の揺らぎ$\delta x$，$\delta p$を考え，Robertsonの不等式からHeisenbergの不確定性原理の式を導出してみたいと思う．....

どちらの証明方法が主流なのかは分からないが，個人的にはこちらの方が綺麗にまとまっていて好みである．
では，早速見ていこう．

突然だが，ある演算子の揺らぎ$\Delta A$と$\Delta B$を考える．これはRobertsonの不等式(5.14)の$\delta A$と$\delta B$に対応しているものと思ってくれれば良い．
そこに，$\lambda \in \mathbb{R}$を持ってくる．ある関数$\psi$に対し，$\lambda$の関数で，ノルムの2乗
$$\mathcal{N}(\lambda)=\| (\lambda \Delta A -i \Delta B)\psi \| ^2 \tag{6.1}$$を考える．これはもちろん内積の性質から，
$$\mathcal{N}(\lambda) \geq 0 \tag{6.2}$$である．さて，(6.1)の右辺を内積の性質を用いて書き下していこう．
$$\begin{eqnarray}\| (\lambda \Delta A -i \Delta B)\psi \| ^2 &=& \left( (\lambda \Delta A -i\Delta B)\psi , (\lambda \Delta A -i\Delta B)\psi \right) \\
&=& \lambda ^2 \left( \Delta A \psi , \Delta A \psi \right) + \left( \Delta B \psi , \Delta B \psi \right) -i\lambda \left( \Delta A \psi , \Delta B \psi \right) +i\lambda \left( \Delta B \psi , \Delta A \psi \right) \\
&=& \lambda ^2 \left( \psi , (\Delta A)^2 \psi \right) + \left( \psi , (\Delta B)^2 \psi \right) -i\lambda \left( \psi , (\Delta A\Delta B -\Delta B\Delta A)\psi \right) \tag{6.3} \end{eqnarray}$$となる．ここで，(6.3)の第3項には交換関係$[\Delta A, \Delta B]=\Delta A\Delta B-\Delta B\Delta A$が現れている．これは純虚数であったから，
$$[\Delta A, \Delta B]:=i C \tag{6.4}$$として(6.3)をさらに書き下してみよう．すると，
$$\mathcal{N}(\lambda) = \lambda ^2 \langle (\Delta A)^2 \rangle +\lambda \langle C \rangle + \langle (\Delta B)^2 \rangle \tag{6.5}$$演算子の期待値は数値として扱えることに注意すれば，(6.5)の右辺は$\lambda$の2次関数になっている！すなわち，(6.2)と(6.5)より，任意の$\lambda \in \mathbb{R}$に対し，常に
$$\lambda ^2 \langle (\Delta A)^2 \rangle +\lambda \langle C \rangle + \langle (\Delta B)^2 \rangle \geq 0 \tag{6.6}$$が成り立つような条件を考えればよい，ということになる．となれば，(6.6)の判別式をとってやって，それが0以下だと言えばよいということである．
判別式は，
$$\begin{eqnarray}D &=& \langle C \rangle ^2 -4\langle (\Delta A)^2 \rangle \langle (\Delta B)^2 \rangle \\
&\leq& 0 \tag{6.7} \end{eqnarray}$$これをヒョイッと整理してやって，両辺の平方根をとれば，Robertsonの不等式
$$\sqrt{\langle (\Delta A)^2 \rangle \langle (\Delta B)^2 \rangle} \geq \frac{|\langle C \rangle |}{2} \tag{6.8}$$が得られた．演算子$A$，$B$を位置演算子と運動量演算子に置き換えたものがHeisenbergの不確定性原理の式となることは言うまでもない．

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満足したのでこれで終わり．また適当に投下すると思います．