量子力学メモ②：Heisenbergの不確定性原理を導出してみる

前回，粒子の位置$x$と運動量$p$の期待値を求めた((4.4)式と(4.5)式)．
今回は，位置$x$と運動量$p$の揺らぎ$\delta x$，$\delta p$を考え，Robertsonの不等式からHeisenbergの不確定性原理の式を導出してみたいと思う．

◎交換関係の定義(とおまけ)
2つの演算子$A, B$に対し，
$$[A, B] :=AB-BA \tag{5.1}$$を交換関係と言う．また，
$$\{ A, B \} :=AB+BA \tag{5.2}$$を反交換関係と言う．
今回は，$A=\hat{x}, B=\hat{p}$として考える．すると，任意の関数$f$に対し，
$$\begin{eqnarray}
(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})f &=& -i\hbar \left( x \frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}(xf) \right) \\
&=& -i\hbar \left[ x\frac{\partial f}{\partial x}- \left( f+ x\frac{\partial f}{\partial x}\right) \right] \\
&=& -i\hbar (-f) \\
&=& i\hbar f \tag{5.3}
\end{eqnarray}$$が成り立つ．よって，(5.1)と(5.3)をまとめると，
$$[\hat{x}, \hat{p}]=i\hbar \tag{5.4}$$であることがわかる．

◎内積の定義と諸性質
関数$\phi, \psi$に対して，内積$\langle \phi | \psi \rangle$を
$$\langle \phi | \psi \rangle := \int \phi^*(q_1, \cdots,q_f) \psi (q_1, \cdots, q_f) d \tau \tag{5.5} $$で定義する．ここで，$\tau=(q_1, \cdots, q_f)$である．
この内積は，以下の5つの性質を満たす．
$$\begin{eqnarray}
&1.& \ \langle \phi | \psi \rangle = \langle \psi | \phi \rangle ^* \tag{5.6} \\
&2.& \ \langle \phi | \lambda_1 \psi_1+\lambda_2\psi_2\rangle =\lambda_1 \langle \phi | \psi_1 \rangle +\lambda_2\langle \phi | \psi_2\rangle \ {\rm for} \ \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C} \tag{5.7} \\
&3.& \ \langle \lambda_1\phi_1+\lambda_2\phi_2 |\psi \rangle = \lambda_1 ^* \langle \phi_1 | \psi \rangle +\lambda_2^* \langle \phi_2 |\psi \rangle \ {\rm for} \ \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C} \tag{5.8} \\
&4.& \ \langle \psi | \psi \rangle \geq 0 \tag{5.9} \\
&5.& \ |\langle\phi|\psi\rangle| \leq \sqrt{\langle\phi|\phi\rangle \langle\psi|\psi\rangle} \ ({\rm Schwarz \ ineq.}) \tag{5.10}
\end{eqnarray}$$
◎Robertsonの不等式
ある演算子$A$に対して，その揺らぎを$\delta A := A- \langle A \rangle$で定義する．
このとき，$\langle (\delta A)^2 \rangle$を$A$の分散と言う．
2つの演算子$A, B$に対して，(5.10)より，
$$\langle (\delta A)^2 \rangle \langle (\delta B)^2 \rangle \geq |\langle \delta A\delta B \rangle |^2 \tag{5.11}$$が成り立つ．ここで，(5.1)と(5.2)より，
$$\begin{eqnarray}
\delta A\delta B &=& \frac{1}{2}(\delta A\delta B -\delta B\delta A)+\frac{1}{2}(\delta A\delta B +\delta B\delta A) \\
&=& \frac{1}{2}\left[ (A-\langle A \rangle)(B-\langle B \rangle)-(B-\langle B \rangle)(A-\langle A \rangle) \right] +\frac{1}{2}\{ \delta A,\delta B \} \\
&=& \frac{1}{2}(AB-BA) +\frac{1}{2}\{ \delta A, \delta B \} \\
&=& \frac{1}{2}[A,B] +\frac{1}{2}\{ \delta A,\delta B \} \tag{5.12}
\end{eqnarray}$$であるから，
$$\begin{eqnarray}
|\langle \delta A\delta B \rangle|^2 &=& \left| \frac{1}{2}\langle[A,B] \rangle +\frac{1}{2}\langle \{ \delta A,\delta B \} \rangle \right| ^2 \\
&=& \left| \frac{1}{2} \langle [A,B] \rangle \right| ^2 +\left| \frac{1}{2} \langle \{ \delta A, \delta B \} \rangle \right| ^2 \\
&\geq& \frac{1}{4} |\langle [A,B] \rangle |^2 \tag{5.13}
\end{eqnarray}$$となる．1行目から2行目へは，$\langle [A,B] \rangle$は純虚数，$\langle \{ \delta A, \delta B \} \rangle$が実数であることを用いた．
よって，(5.11)と(5.13)を合わせると，
$$\langle (\delta A)^2 \rangle \langle (\delta B)^2 \rangle \geq \frac{1}{4} |\langle [A,B] \rangle |^2 \tag{5.14}$$となる．これがRobertsonの不等式である．

◎Heisenbergの不確定性原理の導出
Robertsonの不等式が導出できたので，あとは$A, B$をそれぞれ$\hat{x}, \hat{p}$に置き換えてみる．
すると，(5.14)は，
$$\langle (\delta \hat{x})^2 \rangle \langle (\delta \hat{p})^2 \rangle \geq \frac{1}{4} |\langle [\hat{x}, \hat{p} ] \rangle |^2 \tag{5.15}$$となる．(5.4)と(5.15)より，
$$\sqrt{\langle (\delta \hat{x})^2 \rangle \langle (\delta \hat{p})^2 \rangle} \geq \frac{\hbar}{2} \tag{5.16}$$となって，Heisenbergの不確定性原理の式が導出された．

◎参考文献 (敬称略)
・量子力学(I)(裳華房) / 著・江沢洋
・量子物理(オーム社) / 著・望月和子
・量子力学A 資料第5回「演算子と固有値・固有関数(その2)」 / 草部浩一
・Wikipedia-不確定性原理 → リンク
・Wikipedia-交換関係 → リンク
・理工系数学のアラカルト-ロバートソンの不等式とその証明 → リンク