解析力学メモ①：二重振り子

2個の質点m_1, m_2(順に質点1, 2とする)がそれぞれ長さl_1, l_2の重さが無視できる糸で吊るされている．
l_1, l_2がそれぞれ鉛直線となす角をθ_1, θ_2(いずれも微小角)とする．
この微小振動の運動を調べたい．

☆座標変換
ラグランジアンを考えるときは，座標系に依らない．
よって，直交座標系では少々難しくなるため，極座標系で考える．
ただし，糸の長さは固定されていることに留意する．
質点1，2の座標をそれぞれ(x_1, y_1)，(x_2, y_2)とすると，
\[ \begin{align*}
x_1 &=& \ell_1\sin\theta_1 , \ y_1 &=& \ell_1\cos\theta_1 \tag{2.1} \\
x_2 &=& \ell_1\sin\theta_1+\ell_2\sin\theta_2, \ y_2 &=& \ell_1\cos\theta_1+\ell_2\cos\theta_2 \tag{2.2}
\end{align*}
\]
となる．これにより，運動エネルギーKは，
\[ \begin{align*}
K &= \frac{1}{2}m_1(\dot{x_1}^2+\dot{y_1}^2)+\frac{1}{2}m_2(\dot{x_2}^2+\dot{y_2}^2) \\
&= \frac{1}{2}(m_1+m_2)\ell_1^2\dot{\theta_1}^2+\frac{1}{2}m_2\ell_2^2\dot{\theta_2}^2+m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2) \tag{2.3}
\end{align*}
\]
となる．

☆ポテンシャルエネルギーの基準について
どうやら，y軸を鉛直下向きにとって，糸l_1の始点を原点に取ると都合がいいようだ．
実際，(2.1)および(2.2)は水平右向きにx軸正方向，鉛直下向きにy軸正方向をとったときの座標変換となっている．
このとき，もちろんポテンシャルの基準は最高点になっているため，ポテンシャルエネルギーUは，
\[ \begin{align*}
U &=-m_1gy_1-m_2gy_2 \\
&= -(m_1+m_2)g\ell_1\cos\theta_1-m_2g\ell_2\cos\theta_2 \tag{2.4}
\end{align*}
\]
となる．

☆ラグランジュの運動方程式
上の(2.3)(2.4)より，ラグランジアンは，
\[ \begin{align*}
\cal{L} &= K-U \\
&=\frac{1}{2}(m_1+m_2)\ell_1^2\dot{\theta_1}^2+\frac{1}{2}m_2\ell_2^2\dot{\theta_2}^2+m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2)+(m_1+m_2)g\ell_1\cos\theta_1+m_2g\ell_2\cos\theta_2 \tag{2.5}
\end{align*}
\]
となる．ラグランジュの運動方程式は，
\[ \begin{align*}
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \cal{L}}{\partial \dot{\theta_1}}\right)-\frac{\partial \cal{L}}{\partial \theta_1}=0 \tag{2.6} \\
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \cal{L}}{\partial \dot{\theta_2}}\right)-\frac{\partial \cal{L}}{\partial \theta_2}=0 \tag{2.7}
\end{align*} \]
で与えられる．各偏微分を計算して書き下すと，(2.6)は，
\[ \begin{align*}
(m_1+m_2)\ell_1^2\ddot{\theta_1}+m_2\ell_1\ell_2\ddot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta_2}^2\sin(\theta_1-\theta_2)=-(m_1+m_2)g\ell_1\sin\theta_1 \tag{2.8}
\end{align*} \]
となる．同様に，(2.7)は，
\[ \begin{align*}
m2\ell_2^2\ddot{\theta_2}+m_2\ell_1\ell_2\ddot{\theta_1}\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta_1}^2\sin(\theta_1-\theta_2)=-m_2g\ell_2\sin\theta_2 \tag{2.9}
\end{align*} \]
となる．ここで，運動は微小振動と仮定しているから，次の式が成り立つ．
\[ \begin{align*}
\sin\theta\simeq\theta, \ \cos\theta\simeq1 \tag{2.10} \\
\ddot{\theta}\ll\dot{\theta}^2\theta \tag{2.11}
\end{align*} \]
これを用いて(2.8)(2.9)を整理すると，次のようになる．
\[ \begin{align*}
(m_1+m_2)\ell_1\ddot{\theta_1}+m_2\ell_2\ddot{\theta_2} &=-(m_1+m_2)g\theta_1 \tag{2.12} \\
\ell_1\ddot{\theta_1}+\ell_2\ddot{\theta_2} &=-g\theta_2 \tag{2.13}
\end{align*} \]

☆さらに状況を具体化してみる
さて，ラグランジュの運動方程式を整理すると(2.12)(2.13)の連立微分方程式が得られた．
(2.12)(2.13)を，θ_1''，θ_2''について解くと，
\[ \begin{align*}
\ddot{\theta_1} &= -\frac{m_1+m_2}{m_1}\frac{g}{\ell_1}\theta_1+\frac{m_2}{m_1}\frac{g}{\ell_1}\theta_2 \tag{2.14} \\
\ddot{\theta_2} &= \frac{m_1+m_2}{m_1}\frac{g}{\ell_2}(\theta_1-\theta_2) \tag{2.15}
\end{align*} \]
となる．次に，簡単のためにm_1=m_2，l_1=l_2≡lの場合を考えると，(2.14)(2.15)は，
\[ \begin{align*}
\ddot{\theta_1} &= -2\gamma\theta_1+\gamma\theta_2 \tag{2.16} \\
\ddot{\theta_2} &=2\gamma(\theta_1-\theta_2) \tag{2.17}
\end{align*} \]
となる．ただし，γ≡g/l．これはさらに簡略化できて，
\[ \begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} \ddot{\theta_1} \\ \ddot{\theta_2} \end{array} \right) =
-\gamma \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \theta_1 \\ \theta_2 \end{array} \right) \tag{2.18}
\end{eqnarray} \]
となる．よって，係数行列の固有値および固有ベクトルを求めることで，この運動の規準運動を得る．
係数行列の固有値および固有ベクトルを求めると，
\[ \begin{align*}
\omega_1\equiv \sqrt{2-\sqrt{2}}\gamma, \ \omega_2\equiv\sqrt{2+\sqrt{2}}\gamma \tag{2.19} \\
\Theta_1\equiv\sqrt{\frac{2}{3}}\theta_1+\sqrt{\frac{1}{3}}\theta_2, \ \Theta_2\equiv\sqrt{\frac{2}{3}}\theta_1-\sqrt{\frac{1}{3}}\theta_2 \tag{2.20}
\end{align*} \]
となり，
\[ \begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} \ddot{\Theta_1} \\ \ddot{\Theta_2} \end{array} \right) =
-\left( \begin{array}{cc} \omega_1^2 & 0 \\ 0 & \omega_2^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \Theta_1 \\ \Theta_2 \end{array} \right) \tag{2.21}
\end{eqnarray} \]
したがって，この微分方程式は容易に解けて，
\[
\Theta_1=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1), \ \Theta_2=A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2) \tag{2.22}
\]
となる．(2.20)と(2.22)を用いてθ_1，θ_2について解くことで，質点1，2の運動が記述できた．