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解析力学メモ①:二重振り子

2個の質点m_1, m_2(順に質点1, 2とする)がそれぞれ長さl_1, l_2の重さが無視できる糸で吊るされている.
l_1, l_2がそれぞれ鉛直線となす角をθ_1, θ_2(いずれも微小角)とする.
この微小振動の運動を調べたい.

☆座標変換
ラグランジアンを考えるときは,座標系に依らない.
よって,直交座標系では少々難しくなるため,極座標系で考える.
ただし,糸の長さは固定されていることに留意する.
質点1,2の座標をそれぞれ(x_1, y_1),(x_2, y_2)とすると,
\[ \begin{align*}
x_1 &=& \ell_1\sin\theta_1 , \ y_1 &=& \ell_1\cos\theta_1 \tag{2.1} \\
x_2 &=& \ell_1\sin\theta_1+\ell_2\sin\theta_2, \ y_2 &=& \ell_1\cos\theta_1+\ell_2\cos\theta_2 \tag{2.2}
\end{align*}
\]
となる.これにより,運動エネルギーKは,
\[ \begin{align*}
K &= \frac{1}{2}m_1(\dot{x_1}^2+\dot{y_1}^2)+\frac{1}{2}m_2(\dot{x_2}^2+\dot{y_2}^2) \\
&= \frac{1}{2}(m_1+m_2)\ell_1^2\dot{\theta_1}^2+\frac{1}{2}m_2\ell_2^2\dot{\theta_2}^2+m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2) \tag{2.3}
\end{align*}
\]
となる.

☆ポテンシャルエネルギーの基準について
どうやら,y軸を鉛直下向きにとって,糸l_1の始点を原点に取ると都合がいいようだ.
実際,(2.1)および(2.2)は水平右向きにx軸正方向,鉛直下向きにy軸正方向をとったときの座標変換となっている.
このとき,もちろんポテンシャルの基準は最高点になっているため,ポテンシャルエネルギーUは,
\[ \begin{align*}
U &=-m_1gy_1-m_2gy_2 \\
&= -(m_1+m_2)g\ell_1\cos\theta_1-m_2g\ell_2\cos\theta_2 \tag{2.4}
\end{align*}
\]
となる.

☆ラグランジュの運動方程式
上の(2.3)(2.4)より,ラグランジアンは,
\[ \begin{align*}
\cal{L} &= K-U \\
&=\frac{1}{2}(m_1+m_2)\ell_1^2\dot{\theta_1}^2+\frac{1}{2}m_2\ell_2^2\dot{\theta_2}^2+m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2)+(m_1+m_2)g\ell_1\cos\theta_1+m_2g\ell_2\cos\theta_2 \tag{2.5}
\end{align*}
\]
となる.ラグランジュの運動方程式は,
\[ \begin{align*}
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \cal{L}}{\partial \dot{\theta_1}}\right)-\frac{\partial \cal{L}}{\partial \theta_1}=0 \tag{2.6} \\
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \cal{L}}{\partial \dot{\theta_2}}\right)-\frac{\partial \cal{L}}{\partial \theta_2}=0 \tag{2.7}
\end{align*} \]
で与えられる.各偏微分を計算して書き下すと,(2.6)は,
\[ \begin{align*}
(m_1+m_2)\ell_1^2\ddot{\theta_1}+m_2\ell_1\ell_2\ddot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta_2}^2\sin(\theta_1-\theta_2)=-(m_1+m_2)g\ell_1\sin\theta_1 \tag{2.8}
\end{align*} \]
となる.同様に,(2.7)は,
\[ \begin{align*}
m2\ell_2^2\ddot{\theta_2}+m_2\ell_1\ell_2\ddot{\theta_1}\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta_1}^2\sin(\theta_1-\theta_2)=-m_2g\ell_2\sin\theta_2 \tag{2.9}
\end{align*} \]
となる.ここで,運動は微小振動と仮定しているから,次の式が成り立つ.
\[ \begin{align*}
\sin\theta\simeq\theta, \ \cos\theta\simeq1 \tag{2.10} \\
\ddot{\theta}\ll\dot{\theta}^2\theta \tag{2.11}
\end{align*} \]
これを用いて(2.8)(2.9)を整理すると,次のようになる.
\[ \begin{align*}
(m_1+m_2)\ell_1\ddot{\theta_1}+m_2\ell_2\ddot{\theta_2} &=-(m_1+m_2)g\theta_1 \tag{2.12} \\
\ell_1\ddot{\theta_1}+\ell_2\ddot{\theta_2} &=-g\theta_2 \tag{2.13}
\end{align*} \]

☆さらに状況を具体化してみる
さて,ラグランジュの運動方程式を整理すると(2.12)(2.13)の連立微分方程式が得られた.
(2.12)(2.13)を,θ_1'',θ_2''について解くと,
\[ \begin{align*}
\ddot{\theta_1} &= -\frac{m_1+m_2}{m_1}\frac{g}{\ell_1}\theta_1+\frac{m_2}{m_1}\frac{g}{\ell_1}\theta_2 \tag{2.14} \\
\ddot{\theta_2} &= \frac{m_1+m_2}{m_1}\frac{g}{\ell_2}(\theta_1-\theta_2) \tag{2.15}
\end{align*} \]
となる.次に,簡単のためにm_1=m_2,l_1=l_2≡lの場合を考えると,(2.14)(2.15)は,
\[ \begin{align*}
\ddot{\theta_1} &= -2\gamma\theta_1+\gamma\theta_2 \tag{2.16} \\
\ddot{\theta_2} &=2\gamma(\theta_1-\theta_2) \tag{2.17}
\end{align*} \]
となる.ただし,γ≡g/l.これはさらに簡略化できて,
\[ \begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} \ddot{\theta_1} \\ \ddot{\theta_2} \end{array} \right) =
-\gamma \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \theta_1 \\ \theta_2 \end{array} \right) \tag{2.18}
\end{eqnarray} \]
となる.よって,係数行列の固有値および固有ベクトルを求めることで,この運動の規準運動を得る.
係数行列の固有値および固有ベクトルを求めると,
\[ \begin{align*}
\omega_1\equiv \sqrt{2-\sqrt{2}}\gamma, \ \omega_2\equiv\sqrt{2+\sqrt{2}}\gamma \tag{2.19} \\
\Theta_1\equiv\sqrt{\frac{2}{3}}\theta_1+\sqrt{\frac{1}{3}}\theta_2, \ \Theta_2\equiv\sqrt{\frac{2}{3}}\theta_1-\sqrt{\frac{1}{3}}\theta_2 \tag{2.20}
\end{align*} \]
となり,
\[ \begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} \ddot{\Theta_1} \\ \ddot{\Theta_2} \end{array} \right) =
-\left( \begin{array}{cc} \omega_1^2 & 0 \\ 0 & \omega_2^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \Theta_1 \\ \Theta_2 \end{array} \right) \tag{2.21}
\end{eqnarray} \]
したがって,この微分方程式は容易に解けて,
\[
\Theta_1=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1), \ \Theta_2=A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2) \tag{2.22}
\]
となる.(2.20)と(2.22)を用いてθ_1,θ_2について解くことで,質点1,2の運動が記述できた.
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テーマ:物理学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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