1年8ヶ月という短い期間でしたが、本当にお世話になりました。
大学生になってからの大阪でのホームでした。
隠れ家感あふれるひっそりとした空間、そこに広がる良メンテの音ゲー筐体。
今日までの地力は大部分がここで培ったものです。
このゲームセンターを介して、音ゲーマーと交流することも一つの楽しみでした。
ありがとうございました。そして、お疲れさまでした。

今年も受けました。
去年は春に受けたと思います。

現在履修している専門英語基礎の成績の3割に、このTOEFL-ITPの成績が入るというので、どうしても受験せざるを得ない訳です。
まあ、受験しなかったとしても残り7割が講義での成績なので、頑張れば受験しなくても済んだ気はするんですが。
実は4欠でアウトの専門英語をすでに2欠しているので、受験を余儀なくされまして...。

結果としては、まずまずといったところでしょうか。
去年のスコアは504点くらいだったと思うのですが、今回は果たしてどうなるのやら。
Listeningの調子が良ければ、恐らく超えてくれるとは思いますね。
Readingの5問目があまりにもつまらない文章だったので、後半完全に飽きてましたね。
ちなみに、スコアは来年1月頃に講師を通して返却されるそうです。
予想では490～520点くらいじゃないかと思います。そうじゃなかったら残念ですね。

TOEICも今後のために受験しておきたいお年頃なのですが、いかんせん時間が足りません。
さすがに来年度からは専門実験が始まるので、バイトを減らして自学の時間をもっと確保すると思います。
TOEICのために単語帳を買ったのにもかかわらず、ほぼ一切手付かず状態になってるのが悲しすぎますね...。
みんなはそうならないようにしような。

ちなみに買った単語帳はこれです。

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amazonで確認してみたらあまり評判はよろしくないみたいですが...。
まあせっかく買ったので、ちゃんとやろうと思います。

英語が必要になるこの時代ですが、そもそも日本語をちゃんと勉強しないといけないのではなかろうか。

完全に記事書くの忘れてました。
なので、☆12に関してだけ最後のIIDXの記事から現在までで得た収穫をまとめておきます。
曲名の前の[ ]は、Eがイージー、Hがハード、番号がそのクリアランプがついた順番になってます。
曲名のあとにそのときのオプションをのっけてます。参考になれば。

～PENDUAL～
07/24
[E45]Sounds Of Summer; EASY

08/08
[E46]Invitation from Mr.C; EASY

09/07
[E47]ワルツ第17番 ト短調"大犬のワルツ"; EASY
[E48]夏色DIARY -L.E.D.-G STYLE MIX-; EASY

09/12
[E49]WONDER WALKER; EASY
[E50]Idola; EASY
[E51]NNRT; EASY
[E52]轟け！恋のビーンボール！！; EASY
[E53]シュレーディンガーの猫; EASY (OP:RAN)
[E54]Monopole.; EASY (OP:R-RAN)

10/23
[H07]invoker; HARD
[H08]TIEFSEE; HARD

10/27
[H09]紅牡丹; HARD
[H10]F; HARD
[H11]疾風迅雷; HARD
[H12]ΕΛΠΙΣ

～Copula～
11/19
[E55]Say YEEEAHH; EASY (OP:R-RAN)
[E56]Red. by Full Metal Jacket; EASY (OP:MIRROR)
[E57]Close the World feat.a☆ru; EASY

11/22
[E58]ELECTRIC MASSIVE DIVER; EASY
[E59]少年A; EASY
[E60]旋律のドグマ ～Misérables～; EASY
[E61]子供の落書き帳; EASY
[E62]Watch Out Pt.2; EASY

これから先は☆12収穫出たらその都度記事にまとめていきたいですね。

前回，粒子の位置$x$と運動量$p$の期待値を求めた((4.4)式と(4.5)式)．
今回は，位置$x$と運動量$p$の揺らぎ$\delta x$，$\delta p$を考え，Robertsonの不等式からHeisenbergの不確定性原理の式を導出してみたいと思う．

◎交換関係の定義(とおまけ)
2つの演算子$A, B$に対し，
$$[A, B] :=AB-BA \tag{5.1}$$を交換関係と言う．また，
$$\{ A, B \} :=AB+BA \tag{5.2}$$を反交換関係と言う．
今回は，$A=\hat{x}, B=\hat{p}$として考える．すると，任意の関数$f$に対し，
$$\begin{eqnarray}
(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})f &=& -i\hbar \left( x \frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}(xf) \right) \\
&=& -i\hbar \left[ x\frac{\partial f}{\partial x}- \left( f+ x\frac{\partial f}{\partial x}\right) \right] \\
&=& -i\hbar (-f) \\
&=& i\hbar f \tag{5.3}
\end{eqnarray}$$が成り立つ．よって，(5.1)と(5.3)をまとめると，
$$[\hat{x}, \hat{p}]=i\hbar \tag{5.4}$$であることがわかる．

◎内積の定義と諸性質
関数$\phi, \psi$に対して，内積$\langle \phi | \psi \rangle$を
$$\langle \phi | \psi \rangle := \int \phi^*(q_1, \cdots,q_f) \psi (q_1, \cdots, q_f) d \tau \tag{5.5} $$で定義する．ここで，$\tau=(q_1, \cdots, q_f)$である．
この内積は，以下の5つの性質を満たす．
$$\begin{eqnarray}
&1.& \ \langle \phi | \psi \rangle = \langle \psi | \phi \rangle ^* \tag{5.6} \\
&2.& \ \langle \phi | \lambda_1 \psi_1+\lambda_2\psi_2\rangle =\lambda_1 \langle \phi | \psi_1 \rangle +\lambda_2\langle \phi | \psi_2\rangle \ {\rm for} \ \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C} \tag{5.7} \\
&3.& \ \langle \lambda_1\phi_1+\lambda_2\phi_2 |\psi \rangle = \lambda_1 ^* \langle \phi_1 | \psi \rangle +\lambda_2^* \langle \phi_2 |\psi \rangle \ {\rm for} \ \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C} \tag{5.8} \\
&4.& \ \langle \psi | \psi \rangle \geq 0 \tag{5.9} \\
&5.& \ |\langle\phi|\psi\rangle| \leq \sqrt{\langle\phi|\phi\rangle \langle\psi|\psi\rangle} \ ({\rm Schwarz \ ineq.}) \tag{5.10}
\end{eqnarray}$$
◎Robertsonの不等式
ある演算子$A$に対して，その揺らぎを$\delta A := A- \langle A \rangle$で定義する．
このとき，$\langle (\delta A)^2 \rangle$を$A$の分散と言う．
2つの演算子$A, B$に対して，(5.10)より，
$$\langle (\delta A)^2 \rangle \langle (\delta B)^2 \rangle \geq |\langle \delta A\delta B \rangle |^2 \tag{5.11}$$が成り立つ．ここで，(5.1)と(5.2)より，
$$\begin{eqnarray}
\delta A\delta B &=& \frac{1}{2}(\delta A\delta B -\delta B\delta A)+\frac{1}{2}(\delta A\delta B +\delta B\delta A) \\
&=& \frac{1}{2}\left[ (A-\langle A \rangle)(B-\langle B \rangle)-(B-\langle B \rangle)(A-\langle A \rangle) \right] +\frac{1}{2}\{ \delta A,\delta B \} \\
&=& \frac{1}{2}(AB-BA) +\frac{1}{2}\{ \delta A, \delta B \} \\
&=& \frac{1}{2}[A,B] +\frac{1}{2}\{ \delta A,\delta B \} \tag{5.12}
\end{eqnarray}$$であるから，
$$\begin{eqnarray}
|\langle \delta A\delta B \rangle|^2 &=& \left| \frac{1}{2}\langle[A,B] \rangle +\frac{1}{2}\langle \{ \delta A,\delta B \} \rangle \right| ^2 \\
&=& \left| \frac{1}{2} \langle [A,B] \rangle \right| ^2 +\left| \frac{1}{2} \langle \{ \delta A, \delta B \} \rangle \right| ^2 \\
&\geq& \frac{1}{4} |\langle [A,B] \rangle |^2 \tag{5.13}
\end{eqnarray}$$となる．1行目から2行目へは，$\langle [A,B] \rangle$は純虚数，$\langle \{ \delta A, \delta B \} \rangle$が実数であることを用いた．
よって，(5.11)と(5.13)を合わせると，
$$\langle (\delta A)^2 \rangle \langle (\delta B)^2 \rangle \geq \frac{1}{4} |\langle [A,B] \rangle |^2 \tag{5.14}$$となる．これがRobertsonの不等式である．

◎Heisenbergの不確定性原理の導出
Robertsonの不等式が導出できたので，あとは$A, B$をそれぞれ$\hat{x}, \hat{p}$に置き換えてみる．
すると，(5.14)は，
$$\langle (\delta \hat{x})^2 \rangle \langle (\delta \hat{p})^2 \rangle \geq \frac{1}{4} |\langle [\hat{x}, \hat{p} ] \rangle |^2 \tag{5.15}$$となる．(5.4)と(5.15)より，
$$\sqrt{\langle (\delta \hat{x})^2 \rangle \langle (\delta \hat{p})^2 \rangle} \geq \frac{\hbar}{2} \tag{5.16}$$となって，Heisenbergの不確定性原理の式が導出された．

◎参考文献 (敬称略)
・量子力学(I)(裳華房) / 著・江沢洋
・量子物理(オーム社) / 著・望月和子
・量子力学A 資料第5回「演算子と固有値・固有関数(その2)」 / 草部浩一
・Wikipedia-不確定性原理 → リンク
・Wikipedia-交換関係 → リンク
・理工系数学のアラカルト-ロバートソンの不等式とその証明 → リンク

久しぶりにメモを残す．
大学で量子力学の講義が始まって約1ヶ月になるが，少し理解が追いついていない可能性があるため，ここにメモがてらしたためることにした．
とりあえず，今回は量子力学や統計力学で扱う確率論を踏まえた，平均値のお話．

◎波動関数の規格化と確率解釈
規格化された複素数波動関数$\psi (x,t)$を考える．(一般の位置$\mathbf{r}$に対する波動関数$\psi (\mathbf{r}, t)$でもよいが...)
つまり，このとき
\[ \int _{\Omega} \psi^* \psi dx=1 \tag{4.1} \]
が成り立っているものとする($\psi^* := \overline{\psi} $ である)．
$\Omega$は$\psi$が定義されている全空間であるとするならば，(4.1)の左辺の値が1となるのは当然である．
また、Bornの確率解釈に従えば，「時刻tで一次元体積素$dx$の中に粒子を見出す確率が$\psi^* \psi dx$である」と言える．
(もちろん，一般に考えると体積素は$d \mathbf{r}$となる．)

◎期待値(≒平均値)の定義
先の項で示したBornの確率解釈の話によれば，時刻tで位置$x$に粒子を見出す確率は$x \psi^* \psi$であると言えるだろう．
これを全空間$\Omega$にわたり積分すれば，粒子の位置の期待値が得られる．これを$\langle x \rangle$と書くならば，
\[ \begin{eqnarray} \langle x \rangle &:=& \int _{\Omega} x\psi^* \psi dx \\
&=& \int _{\Omega} \psi^* x\psi dx \tag{4.2}
\end{eqnarray} \]
ということである．
$\psi^*$と$\psi$で挟む形に敢えてしたのは，運動量$p$の対応を考えると都合がよくなるからである．
(このあたりは不勉強なため，もう少し整理できたら別の記事でまとめます)

以上をまとめて，期待値の演算子(のようなもの)を考えると，次の(4.3)式のようになるはずである．
\[ \langle \cdot \rangle := \int_{\Omega} \psi^* \cdot \psi dx \tag{4.3} \]
たとえば，次のようになる．各式の2式目と3式目は，対応を考えれば成り立っていることが分かる．
$$ \begin{eqnarray}
\langle \hat{x} \rangle &=& \int_{\Omega} \psi^* \hat{x} \psi dx = \int_{\Omega} \psi^* x \psi dx \tag{4.4} \\
\langle \hat{p} \rangle &=& \int_{\Omega}\psi^* \hat{p} \psi dx = \int_{\Omega} \psi^* \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \psi dx \tag{4.5}
\end{eqnarray} $$
※ブラ・ケット記法を借りると，(4.3)式は次のように書き改めることもできる．
$$ \langle \cdot \rangle := \langle \psi | \cdot |\psi \rangle \tag{4.6}$$

◎Ehrenfestの定理
さて，(4.4)式と(4.5)式で位置と運動量の期待値$\langle \hat{x} \rangle$，$\langle \hat{p} \rangle$が与えられた．これらをそれぞれ時間微分してみる．
$$ \begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}\langle \hat{x} \rangle &=& \frac{d}{dt}\int_{\Omega}\psi^* x\psi dx \\
&=& \int_{\Omega}\left( \frac{\partial\psi^*}{\partial t}x\psi +\psi^* x\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)dx \\
&=& -\frac{1}{i\hbar}\int_{\Omega}\left[ \left(-i\hbar\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\right) x\psi - \psi^*x \left( i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \right] dx \\
&=& -\frac{1}{i\hbar}\int_{\Omega}({\cal H}\psi)^*x\psi dx +\frac{1}{i\hbar}\int_{\Omega}\psi^*x({\cal H}\psi)dx \\
&=& \frac{1}{i\hbar}\left[ \int_{\Omega}\psi^*x \left( -\frac{\hbar ^2}{2m}\Delta +V(x) \right) \psi dx \ - \ \int_{\Omega}\left( -\frac{\hbar ^2}{2m}\Delta +V(x) \right)\psi^* x\psi dx \right] \\
&=& \frac{i\hbar}{2m}\int_{\Omega}[\psi^* x\Delta\psi -(\Delta\psi^*)x\psi]dx \\
&=& \frac{1}{m}\int_{\Omega}\psi^*\left(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right)\psi dx \\
&=& \frac{1}{m} \langle \hat{p} \rangle \tag{4.7}
\end{eqnarray} $$
$$ \begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}\langle \hat{p} \rangle &=& \frac{d}{dt}\int_{\Omega}\psi^* \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\right)\psi dx \\
&=& -i\hbar \left[ \int_{\Omega}\frac{\partial \psi^*}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x}\psi dx +\int_{\Omega}\psi^*\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial t}dx \right] \\
&=& \int_{\Omega}({\cal H}\psi)^* \frac{\partial}{\partial x}\psi dx -\int_{\Omega}\psi^* \frac{\partial}{\partial x}({\cal H}\psi)dx \\
&=& \int_{\Omega} \left( -\frac{\hbar ^2}{2m}\Delta +V(x) \right)\psi^* \frac{\partial\psi}{\partial x}dx - \int_{\Omega}\psi^* \frac{\partial}{\partial x}\left( -\frac{\hbar ^2}{2m}\Delta +V(x) \right) \psi dx \\
&=& \int_{\Omega} \left[ -\frac{\hbar ^2}{2m} \left( \psi^* \Delta \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi^* \frac{\partial}{\partial x} \Delta \psi \right) +\psi^* V(x) \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi^* \frac{\partial}{\partial x} (V(x)\psi ) \right] dx \\
&=& \int_{\Omega}\psi^* \left( -\frac{\partial}{\partial x} V(x) \right) \psi dx \\
&=& \langle -\frac{\partial}{\partial x} V(x) \rangle \\
&=& \langle F(x) \rangle \tag{4.8}
\end{eqnarray} $$
以上の(4.7)と(4.8)を一般的に書くと，次のようになる．
\[ \begin{eqnarray}
m\frac{d}{dt}\langle \hat{\mathbf{r}} \rangle = \langle \hat{\mathbf{p}} \rangle \tag{4.9} \\
\frac{d}{dt} \langle \hat{\mathbf{p}} \rangle = \langle \mathbf{F} \rangle \tag{4.10}
\end{eqnarray} \]
(4.10)の右辺は$\langle -\nabla V(\mathbf{r}) \rangle$と書くこともある．
これをEhrenfestの定理と言う．このEhrenfestの定理によって，以下のことが保障される．
『波束の位置，運動量をそれらの量子論的期待値と解釈すれば，古典論的運動と量子論的運動が一致する．』
これにより，古典論と量子論の対応を議論する際にEhrenfestの定理が重要な役割を果たす．

◎参考文献 (敬称略)
・量子物理(オーム社) / 著・望月和子
・量子力学A 資料第3回「波動関数」 / 草部浩一
・エーレンフェストの定理 (Wikipedia) → リンク
・量子力学・期待値 (EMANの物理学) → リンク