解析力学メモ②：コマの問題

今回は，ある一点を支点として回転するコマの運動について考える．
この問題で最後に得られる微分方程式は，今の自分では解けないため，とりあえずそこまででメモは打ち止め．

☆今回用いる一般化座標
一般化座標は，今回は直交座標ではなく，オイラー角を用いる．
なぜなら，コマは支点を通る鉛直線まわりにも回転するし，支点とコマを結ぶ動径まわりにも回転する．
この回転運動を扱うには，直交座標は難しくなりすぎる．
コマが剛体であることも考えると，オイラー角を一般化座標に選ぶのが都合がよさそうだからである．

さて，オイラー角φ，θ，ψを一般化座標に選んだ．
先に述べた通り，コマは回転運動をしているから，慣性主軸まわりの角速度を一般化座標で表したい．
直交座標系O-xyzから回転座標系O-ξηζに変換するには，以下の手順を踏む．
　①z軸まわりにφ回転(x軸→x'軸，y軸→y'軸)
　②y'軸まわりにθ回転(x'軸→x''軸，z軸→ζ軸)
　③ζ軸まわりにψ回転(x''軸→ξ軸，y'軸→η軸)
ω_(z)=φ'，ω_(η)=θ'，ω_(ζ)=ψ'である(φ，θ，ψのプライムはドットのことである)から，慣性主軸まわりの角速度をまとめて書くと，
\[ \begin{eqnarray*}
\left( \begin{array}{ccc} \omega_{\xi} \\ \omega_{\eta} \\ \omega_{\zeta} \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccc} \cos\psi & \sin\psi & 0 \\ -\sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} -\sin\theta & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \cos\theta & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \dot{\varphi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{ccc} \dot{\theta}\sin\psi-\dot{\varphi}\cos\psi\sin\theta \\ \dot{\theta}\cos\psi+\dot{\varphi}\sin\psi\sin\theta \\ \dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \end{array} \right) \tag{3.1}
\end{eqnarray*} \]
となる．

☆ラグランジアンを求める
一般化座標を決定して，回転座標系に関する角速度を求めたのはいいが，うまく座標軸を決定したい．
今回は，支点とコマの中心を通る半直線(いわゆるコマの軸である)をζ軸としよう．
こうすると，コマの対称性から，慣性乗積はすべてゼロになる．また，ξ軸まわりの慣性モーメントとη軸まわりの慣性モーメントが等しくなる．
ξ軸，η軸まわりの慣性モーメントをI_1，ζ軸まわりの慣性モーメントをI_2とすれば，運動エネルギーKは，
\[
K=\frac{1}{2} \left[ I_1(\omega_{\xi}^2+\omega_{\eta}^2)+I_2\omega_{\zeta}^2 \right] \tag{3.2}
\]
となる．コマの質量をM，コマの重心が最下点からlの位置にあったとすれば，ポテンシャルエネルギーUは
\[
U=Mg\ell\cos\theta \tag{3.3}
\]
となるから，(3.2)(3.3)より，ラグランジアンは
\[
{\cal L}= \frac{1}{2} \left[ I_1(\omega_{\xi}^2+\omega_{\eta}^2)+I_2\omega_{\zeta}^2 \right]-Mg\ell\cos\theta \tag{3.4}
\]
である．さらに，ここに(3.1)を代入して整理すれば，
\[
{\cal L}= \frac{1}{2} \left[ I_1(\dot{\theta}^2+\dot{\varphi}^2\sin^2\theta)+I_2(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi})^2 \right]-Mg\ell\cos\theta \tag{3.5}
\]
となる．

☆循環座標とホロノミックな系
さて，ここで，一般化運動量を考える．
(3.5)より，ラグランジアンにはφおよびψは含まれていない．
したがって，φおよびψは循環座標となる．つまりp_φおよびp_ψは定数となる．
\[ \begin{align*}
p_{\varphi} &= \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\varphi}}=I_1\dot{\varphi}\sin^2\theta+I_2(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi})\cos\theta=a \ ({\rm const.}) \tag{3.6} \\
p_{\psi} &= \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\psi}}=I_2(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi})=b \ ({\rm const.}) \tag{3.7}
\end{align*} \]
また，この問題ではコマは剛体として扱っているから，つまりはホロノミックな系である．
したがって，ラグランジアンには時間tは含まれない．このとき，エネルギー保存則K+U=E(const.)が成立する．
つまり，(3.1)(3.2)(3.3)より，
\[
\frac{1}{2} \left[ I_1(\dot{\theta}^2+\dot{\varphi}\sin^2\theta)+I_2(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi})^2 \right]+Mg\ell\cos\theta=E \tag{3.8}
\]
となる．

☆θの微分方程式を求める
さて，ここまで来れば，もうすぐゴールである．
ラグランジアンにはφとψの項がないことがすでに分かっている．
また，(3.6)(3.7)によって，φ'とψ'は定数で表せる．したがって，(3.8)をθ'とθのみに書き下すことが可能である．
実際に書き改めてみると，
\[
\frac{1}{2}I_1\dot{\theta}^2+\frac{1}{2}(a-b\cos\theta)+\frac{b^2}{2I_2}+Mg\ell\cos\theta=E \tag{3.9}
\]
となった．これはθ'とθしか一般化座標が含まれていない微分方程式である．
この微分方程式は，たとえば
\[
\frac{d\theta}{dt}=f(\theta) \tag{3.10}
\]
という風に書けたとすれば，両辺を積分する，すなわち
\[
\int\frac{d\theta}{f(\theta)}=\int dt \tag{3.11}
\]
によってθ(t)を求めることができるが，今回は楕円関数などを用いる必要があり，容易に解くことはできない．

現状では，ここをゴールとしておく．
解けるようになったら，また別の記事で再び触れるかもしれない．忘れないようにメモ，ということにしておこう．