[PUC] 13 → 14
[LV15 AAA] 144 → 147 (/165)

六兆年と一夜物語[EXH] PUC	Decretum[EXH] AAA
Growth Memories[EXH] AAA	ほおずき程度には赤い頭髪[EXH] AAA

---

珍しく前回の記事からそれほど経たずに更新です。
なんと、前回の記事を書いてからすぐこれだけ進捗を生んでしまったので。せっかくなので、記事に残しておきます。
LV15のAAAが一気に3つ増えて(というかようやく決着がついて)、LV15のAAAが150に近くなりました。
150個台に乗ればかなり安心と言いますかなんと言いますか、まあ「うまくなったな」みたいな感覚が出てきますね。
冷静に考えて「LV15 AAA 150個」ってヤバくないですか！？
(ここまで挨拶)

さて、最近はTwitterで「この譜面PUCしたいなあ」みたいなのをぼやいていたりします。
六兆年EXHはその一つでした。ツイートした次の日に試してみたら一発でPUC出ちゃったんですね。びっくり。
それ以外にも色々挙げてましたが、あと一歩が足りなさそう。macaronはいけると思うんですが...。
他に、ませまてぃっくが2NR UC出てしまったので、いわゆる闇になりました。
ちなみに、六兆年EXHがLV14初のPUCになりました。Wave of Crazeとかが最初かなあと思ってましたが...。

んじゃ、UC報告だけして今回はこれで終わりましょう。UCもだいぶ増えてきました。300個目標とか言ってた頃が懐かしい。
[UC] 360 → 361
・LV14 macaron[EXH]：NR6

---

今回はここまで。そろそろリントヴルムとかgood high school[INF]とか仕留めたいですね。
ガチ鍵盤とガチツマミ。勘弁してほしい。

[LV15 AAA] 139 → 144 (/165)
[LV15 990↑] 41 → 47 (/165)
[LV16 AAA] 2 → 3 (/6)

ハートブレイク・ヘッドライン[EXH] PUC	Fly to Next World (syzfonics Remix)[EXH] PUC
十六夜桜 -Zakura-[EXH] PUC	gigadelic (かめりあ's "The TERA" RMX)[EXH] AAA
あれこれそれどれ[EXH] AAA	感情の魔天楼 ～ Arr.Demetori[EXH] AAA
Innocent Floor[EXH] AAA	Sounds Of Summer[EXH] AAA +990↑
香港功夫大旋風[EXH] 990↑	TRIGGER★HAPPY[GRV] 990↑
Crack Traxxxx[EXH] 990↑	F.K.S.[EXH] 990↑
きらきらタイム☆[EXH] 990↑	Max Burning!![INF] AAA

---

前回の記事から約一ヶ月経ちました。一ヶ月の収穫としてはこんな感じ。
自分にしてはまあまあお上手だったかな。まだ納得してないリザルトもいくつかありますけど。
PUCやLV15の990↑が増えてるし、少し精度は安定してきたような気がします。

さて、この一ヶ月の間にLV15がいくつか追加されました。
全部やってみた結果、 INF-B 《L-aste-R》 だけが未AAAで残りました。こいつだけはマジで無理です。
すべてが難しすぎる。自己ベは965でストップしてます。ハードすらついてません。

今回の収穫でダントツで嬉しかったのが、 Max Burning!![INF] AAA でした。
EXHが初めてAAA乗ったときもかなり嬉しくて、「ボルテやっててよかった」とまで思っていたものです。
INFでもそれは例外でなくて、「自分でも最高難易度でAAAを出せる」ことを改めて実感させてくれたリザルトです。
次に嬉しかったのはF.K.S.990↑とgigadelic(かめりあ)AAAあたりですかね。
前者は色々思い入れがある曲です。後者は普通に難しかったので、ってとこでしょうかね。

この調子でボルテ頑張っていけたらいいですね。
ようやく暴龍天自己ベ170%になったので、ワンチャン後光暴龍天になれるかも？
まあ、安定してないので、今の間はかなり難しいんですけど。

[UC] 352 → 360
・LV11 dream control[EXH]：NR1
・LV13 Innocent Eyes[EXH]：NR4
・LV13 The Wind of Gold (飛翔鳶 Remix)[EXH]：NR8
・LV14 In The Breeze[EXH]：NR17
・LV14 New Days[EXH]：NR13
・LV14 Twin Blaster[EXH]：NR15
・LV14 ロンロンへ ライライライ！[EXH]：NR12
・LV15 無双[EXH]：NR16
新曲を中心に繋いでいく。実は無双が繋がってました。さすがにビビった。
LV15のUCは5個目です。この調子で高難易度をバンバン繋いでいきたいですね。

---

では、今回はこの辺で。
EXH+INF+GRVで未AAA24。これが10台まで減るとかなり...。頑張ろう。

今回は，ある一点を支点として回転するコマの運動について考える．
この問題で最後に得られる微分方程式は，今の自分では解けないため，とりあえずそこまででメモは打ち止め．

☆今回用いる一般化座標
一般化座標は，今回は直交座標ではなく，オイラー角を用いる．
なぜなら，コマは支点を通る鉛直線まわりにも回転するし，支点とコマを結ぶ動径まわりにも回転する．
この回転運動を扱うには，直交座標は難しくなりすぎる．
コマが剛体であることも考えると，オイラー角を一般化座標に選ぶのが都合がよさそうだからである．

さて，オイラー角φ，θ，ψを一般化座標に選んだ．
先に述べた通り，コマは回転運動をしているから，慣性主軸まわりの角速度を一般化座標で表したい．
直交座標系O-xyzから回転座標系O-ξηζに変換するには，以下の手順を踏む．
　①z軸まわりにφ回転(x軸→x'軸，y軸→y'軸)
　②y'軸まわりにθ回転(x'軸→x''軸，z軸→ζ軸)
　③ζ軸まわりにψ回転(x''軸→ξ軸，y'軸→η軸)
ω_(z)=φ'，ω_(η)=θ'，ω_(ζ)=ψ'である(φ，θ，ψのプライムはドットのことである)から，慣性主軸まわりの角速度をまとめて書くと，
\[ \begin{eqnarray*}
\left( \begin{array}{ccc} \omega_{\xi} \\ \omega_{\eta} \\ \omega_{\zeta} \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccc} \cos\psi & \sin\psi & 0 \\ -\sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} -\sin\theta & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \cos\theta & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \dot{\varphi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{ccc} \dot{\theta}\sin\psi-\dot{\varphi}\cos\psi\sin\theta \\ \dot{\theta}\cos\psi+\dot{\varphi}\sin\psi\sin\theta \\ \dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \end{array} \right) \tag{3.1}
\end{eqnarray*} \]
となる．

☆ラグランジアンを求める
一般化座標を決定して，回転座標系に関する角速度を求めたのはいいが，うまく座標軸を決定したい．
今回は，支点とコマの中心を通る半直線(いわゆるコマの軸である)をζ軸としよう．
こうすると，コマの対称性から，慣性乗積はすべてゼロになる．また，ξ軸まわりの慣性モーメントとη軸まわりの慣性モーメントが等しくなる．
ξ軸，η軸まわりの慣性モーメントをI_1，ζ軸まわりの慣性モーメントをI_2とすれば，運動エネルギーKは，
\[
K=\frac{1}{2} \left[ I_1(\omega_{\xi}^2+\omega_{\eta}^2)+I_2\omega_{\zeta}^2 \right] \tag{3.2}
\]
となる．コマの質量をM，コマの重心が最下点からlの位置にあったとすれば，ポテンシャルエネルギーUは
\[
U=Mg\ell\cos\theta \tag{3.3}
\]
となるから，(3.2)(3.3)より，ラグランジアンは
\[
{\cal L}= \frac{1}{2} \left[ I_1(\omega_{\xi}^2+\omega_{\eta}^2)+I_2\omega_{\zeta}^2 \right]-Mg\ell\cos\theta \tag{3.4}
\]
である．さらに，ここに(3.1)を代入して整理すれば，
\[
{\cal L}= \frac{1}{2} \left[ I_1(\dot{\theta}^2+\dot{\varphi}^2\sin^2\theta)+I_2(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi})^2 \right]-Mg\ell\cos\theta \tag{3.5}
\]
となる．

☆循環座標とホロノミックな系
さて，ここで，一般化運動量を考える．
(3.5)より，ラグランジアンにはφおよびψは含まれていない．
したがって，φおよびψは循環座標となる．つまりp_φおよびp_ψは定数となる．
\[ \begin{align*}
p_{\varphi} &= \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\varphi}}=I_1\dot{\varphi}\sin^2\theta+I_2(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi})\cos\theta=a \ ({\rm const.}) \tag{3.6} \\
p_{\psi} &= \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\psi}}=I_2(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi})=b \ ({\rm const.}) \tag{3.7}
\end{align*} \]
また，この問題ではコマは剛体として扱っているから，つまりはホロノミックな系である．
したがって，ラグランジアンには時間tは含まれない．このとき，エネルギー保存則K+U=E(const.)が成立する．
つまり，(3.1)(3.2)(3.3)より，
\[
\frac{1}{2} \left[ I_1(\dot{\theta}^2+\dot{\varphi}\sin^2\theta)+I_2(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi})^2 \right]+Mg\ell\cos\theta=E \tag{3.8}
\]
となる．

☆θの微分方程式を求める
さて，ここまで来れば，もうすぐゴールである．
ラグランジアンにはφとψの項がないことがすでに分かっている．
また，(3.6)(3.7)によって，φ'とψ'は定数で表せる．したがって，(3.8)をθ'とθのみに書き下すことが可能である．
実際に書き改めてみると，
\[
\frac{1}{2}I_1\dot{\theta}^2+\frac{1}{2}(a-b\cos\theta)+\frac{b^2}{2I_2}+Mg\ell\cos\theta=E \tag{3.9}
\]
となった．これはθ'とθしか一般化座標が含まれていない微分方程式である．
この微分方程式は，たとえば
\[
\frac{d\theta}{dt}=f(\theta) \tag{3.10}
\]
という風に書けたとすれば，両辺を積分する，すなわち
\[
\int\frac{d\theta}{f(\theta)}=\int dt \tag{3.11}
\]
によってθ(t)を求めることができるが，今回は楕円関数などを用いる必要があり，容易に解くことはできない．

現状では，ここをゴールとしておく．
解けるようになったら，また別の記事で再び触れるかもしれない．忘れないようにメモ，ということにしておこう．

2個の質点m_1, m_2(順に質点1, 2とする)がそれぞれ長さl_1, l_2の重さが無視できる糸で吊るされている．
l_1, l_2がそれぞれ鉛直線となす角をθ_1, θ_2(いずれも微小角)とする．
この微小振動の運動を調べたい．

☆座標変換
ラグランジアンを考えるときは，座標系に依らない．
よって，直交座標系では少々難しくなるため，極座標系で考える．
ただし，糸の長さは固定されていることに留意する．
質点1，2の座標をそれぞれ(x_1, y_1)，(x_2, y_2)とすると，
\[ \begin{align*}
x_1 &=& \ell_1\sin\theta_1 , \ y_1 &=& \ell_1\cos\theta_1 \tag{2.1} \\
x_2 &=& \ell_1\sin\theta_1+\ell_2\sin\theta_2, \ y_2 &=& \ell_1\cos\theta_1+\ell_2\cos\theta_2 \tag{2.2}
\end{align*}
\]
となる．これにより，運動エネルギーKは，
\[ \begin{align*}
K &= \frac{1}{2}m_1(\dot{x_1}^2+\dot{y_1}^2)+\frac{1}{2}m_2(\dot{x_2}^2+\dot{y_2}^2) \\
&= \frac{1}{2}(m_1+m_2)\ell_1^2\dot{\theta_1}^2+\frac{1}{2}m_2\ell_2^2\dot{\theta_2}^2+m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2) \tag{2.3}
\end{align*}
\]
となる．

☆ポテンシャルエネルギーの基準について
どうやら，y軸を鉛直下向きにとって，糸l_1の始点を原点に取ると都合がいいようだ．
実際，(2.1)および(2.2)は水平右向きにx軸正方向，鉛直下向きにy軸正方向をとったときの座標変換となっている．
このとき，もちろんポテンシャルの基準は最高点になっているため，ポテンシャルエネルギーUは，
\[ \begin{align*}
U &=-m_1gy_1-m_2gy_2 \\
&= -(m_1+m_2)g\ell_1\cos\theta_1-m_2g\ell_2\cos\theta_2 \tag{2.4}
\end{align*}
\]
となる．

☆ラグランジュの運動方程式
上の(2.3)(2.4)より，ラグランジアンは，
\[ \begin{align*}
\cal{L} &= K-U \\
&=\frac{1}{2}(m_1+m_2)\ell_1^2\dot{\theta_1}^2+\frac{1}{2}m_2\ell_2^2\dot{\theta_2}^2+m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2)+(m_1+m_2)g\ell_1\cos\theta_1+m_2g\ell_2\cos\theta_2 \tag{2.5}
\end{align*}
\]
となる．ラグランジュの運動方程式は，
\[ \begin{align*}
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \cal{L}}{\partial \dot{\theta_1}}\right)-\frac{\partial \cal{L}}{\partial \theta_1}=0 \tag{2.6} \\
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \cal{L}}{\partial \dot{\theta_2}}\right)-\frac{\partial \cal{L}}{\partial \theta_2}=0 \tag{2.7}
\end{align*} \]
で与えられる．各偏微分を計算して書き下すと，(2.6)は，
\[ \begin{align*}
(m_1+m_2)\ell_1^2\ddot{\theta_1}+m_2\ell_1\ell_2\ddot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta_2}^2\sin(\theta_1-\theta_2)=-(m_1+m_2)g\ell_1\sin\theta_1 \tag{2.8}
\end{align*} \]
となる．同様に，(2.7)は，
\[ \begin{align*}
m2\ell_2^2\ddot{\theta_2}+m_2\ell_1\ell_2\ddot{\theta_1}\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2\ell_1\ell_2\dot{\theta_1}^2\sin(\theta_1-\theta_2)=-m_2g\ell_2\sin\theta_2 \tag{2.9}
\end{align*} \]
となる．ここで，運動は微小振動と仮定しているから，次の式が成り立つ．
\[ \begin{align*}
\sin\theta\simeq\theta, \ \cos\theta\simeq1 \tag{2.10} \\
\ddot{\theta}\ll\dot{\theta}^2\theta \tag{2.11}
\end{align*} \]
これを用いて(2.8)(2.9)を整理すると，次のようになる．
\[ \begin{align*}
(m_1+m_2)\ell_1\ddot{\theta_1}+m_2\ell_2\ddot{\theta_2} &=-(m_1+m_2)g\theta_1 \tag{2.12} \\
\ell_1\ddot{\theta_1}+\ell_2\ddot{\theta_2} &=-g\theta_2 \tag{2.13}
\end{align*} \]

☆さらに状況を具体化してみる
さて，ラグランジュの運動方程式を整理すると(2.12)(2.13)の連立微分方程式が得られた．
(2.12)(2.13)を，θ_1''，θ_2''について解くと，
\[ \begin{align*}
\ddot{\theta_1} &= -\frac{m_1+m_2}{m_1}\frac{g}{\ell_1}\theta_1+\frac{m_2}{m_1}\frac{g}{\ell_1}\theta_2 \tag{2.14} \\
\ddot{\theta_2} &= \frac{m_1+m_2}{m_1}\frac{g}{\ell_2}(\theta_1-\theta_2) \tag{2.15}
\end{align*} \]
となる．次に，簡単のためにm_1=m_2，l_1=l_2≡lの場合を考えると，(2.14)(2.15)は，
\[ \begin{align*}
\ddot{\theta_1} &= -2\gamma\theta_1+\gamma\theta_2 \tag{2.16} \\
\ddot{\theta_2} &=2\gamma(\theta_1-\theta_2) \tag{2.17}
\end{align*} \]
となる．ただし，γ≡g/l．これはさらに簡略化できて，
\[ \begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} \ddot{\theta_1} \\ \ddot{\theta_2} \end{array} \right) =
-\gamma \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \theta_1 \\ \theta_2 \end{array} \right) \tag{2.18}
\end{eqnarray} \]
となる．よって，係数行列の固有値および固有ベクトルを求めることで，この運動の規準運動を得る．
係数行列の固有値および固有ベクトルを求めると，
\[ \begin{align*}
\omega_1\equiv \sqrt{2-\sqrt{2}}\gamma, \ \omega_2\equiv\sqrt{2+\sqrt{2}}\gamma \tag{2.19} \\
\Theta_1\equiv\sqrt{\frac{2}{3}}\theta_1+\sqrt{\frac{1}{3}}\theta_2, \ \Theta_2\equiv\sqrt{\frac{2}{3}}\theta_1-\sqrt{\frac{1}{3}}\theta_2 \tag{2.20}
\end{align*} \]
となり，
\[ \begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} \ddot{\Theta_1} \\ \ddot{\Theta_2} \end{array} \right) =
-\left( \begin{array}{cc} \omega_1^2 & 0 \\ 0 & \omega_2^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \Theta_1 \\ \Theta_2 \end{array} \right) \tag{2.21}
\end{eqnarray} \]
したがって，この微分方程式は容易に解けて，
\[
\Theta_1=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1), \ \Theta_2=A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2) \tag{2.22}
\]
となる．(2.20)と(2.22)を用いてθ_1，θ_2について解くことで，質点1，2の運動が記述できた．